Liniowe równania różniczkowe rzędu pierwszego

Liniowym niejednorodnym równaniem różniczkowym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci

\( \frac{d\,x(t)}{d\,t}+p(t)\,x(t)=q(t), \)

gdzie \( p(t),\,\,q(t) \) - wiadome funkcje, przy czym zakładamy że \( q(t) \) nie równa się tożsamosciowo zeru.
Stowarzyszonym równaniem jednorodnym nazywamy równanie postaci

\( \frac{d{\overset{\circ}{x}}}{d\,t}+p(t)\,{\overset{\circ}{x}}(t)=0. \)

Po przemnożeniu tego równania przez \( \frac{dt}{{\overset{\circ}{x}}} \) otrzymujemy równanie o zmiennych rozdzielonych:

\( \frac{d{\overset{\circ}{x}}}{{\overset{\circ}{x}}}=-p(t)\,d\,t. \)

Stąd, po stałkowaniu otrzymjemy

\( {\overset{\circ}{x}}=C\,e^{-\int{p(t)\,d\,t}}, \qquad C\,\in\,R. \)

Rozwiązanie problemu niejednorodnego uzyskujemy metodą uzmienniania stałej. Polega ona na zamianie stałej \( C \) w
powyższeym wzorze przez pewną nieznaną funkcję \( C(t) \).
Rozwiązanie poszukujemy w postaci \( x(t)=C(t)\,e^{-F(t)} \), \( F(t)=\int{p(t)\,d\,t} \). Po
podstawieniu do równania wyjściowego otrzymamy:

\( \frac{d{}C}{dt}=q(t)e^{{}F(t)}\,\,\,\, {\rm lub}\,\,\,\,\ dC=q(t)e^{{}F(t)}dt . \)

Zatem \( C(t)=C_0+\int{q(t)\,e^{{}F(t)}\,d\,t } \). Stąd już łatwo można otrzymać postać rozwiązania ogólnego problemu niejednorodnego:

(1)

\( x(t)=e^{{}-F(t)}\left(C_0+\int{q(t)\,e^{{}F(t)}\,d\,t} \right), \quad F(t)=\int{p(t)\,d\,t}. \)

Przykład 1:

(2)

\( \frac{d\,x}{d\,t}+x(t)=t \)

Z postaci równania odczytujemy że \( p(t)=1 \), natomiast \( q(t)=t \). Do policzenia mamy całkę

\( F(t)=\int{p(t)\,d\,t}\equiv\int{d\,t}=t. \)

oraz całkę

\( \int{e^{{}F(t)}\,q(t)\,d\,t}=\int{e^t\,t\,d\,t}=e^t\,(t-1). \)

Rozwiązanie
Rozwiązanie ogólne równania ( 2 ) ma postać \( x(t)=e^{-t}(C_0+e^t(t-1)). \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Liniowe równania różniczkowe rzędu pierwszego

Przykład 1: